Question

已知函数f（x）=．
（1）当x∈[-2，2]时，求使f（x）＜a恒成立的a的取值范围；
（2）若方程x²-2ax-1=0的两根为α，β，证明：函数f（x）在[α，β]上是单调函数．

Answer 1

解：（1）由f（x）＜a得，即4x-4a＜ax²+4a，
∴时恒成立．
设，
由于x=0时，g（x）=0；x∈[-2，0）时，g（x）＜0；x∈（0，2]时，g（x）＞0，
故求函数在x∈[-2，2]上的最大值，只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，
由，可证明在x∈（0，2]上是减函数，
当x=2时y=x+取得最小值，g（x）取得最大值为，
∴．
（2）设α≤x₁＜x₂≤β，则，
∴，
则，
又a（x₁+x₂）-x₁x₂+4＞a（x₁+x₂）-x₁x₂+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．
分析：（1）由f（x）＜a得，分离出参数a后转化为求函数的最值即可，由g（x）的符号变化规律可知只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，利用单调性可求；
（2）定义法：设α≤x₁＜x₂≤β，则，两式相加可得，利用作差法可证明f（x₂）＞f（x₁）；
点评：本题考查函数恒成立问题、单调性的判断，考查转化思想，单调性的证明应严格论证，方法有定义法、导数法．