Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=be^x+c（a，b，c∈R），且g（x）的图象在（0，g（x））外的切线方程为y=x+1，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值情况；
（Ⅱ）当a=0时，求证：?x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数定义域、导数，按照a≥0，a＜0两种情况讨论f′（x）的符号变化，由极值定义可得结论；
（Ⅱ）当a=0时，令φ（x）=g（x）-f（x）-2=e^x-lnx-2，利用导数表示出φ（x）的最小值，只需说明最小值大于零即可．

解答： 解：（Ⅰ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=a+

1

x

（x＞0）．
当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）没有极值；
当a＜0时，f′(x)=

a(x+ 1 a )

x

，
若x∈(0，-

1

a

)，则f'（x）＞0；
若x∈(-

1

a

，+∞)，则f'（x）＜0，
∴f（x）存在极大值，且当x=-

1

a

时，f(x)极大值=f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1．
综上可知：当a≥0时，f（x）没有极值；
当a＜0时，f（x）存在极大值，且当x=-

1

a

时，f(x)极大值=ln(-

1

a

)-1．
（Ⅱ）∵函数g（x）的导函数g'（x）=be^x，
g'（0）=b．
∵g（0）=b+c，
∴

b+c=1 b=1，

∴g（x）=e^x．
当a=0时，f（x）=lnx，
令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)=ex-

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数，
设φ′（x）=0的根为x=t，则et=

1

t

，即t=e^-t，
∵当x∈（0，t）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数，
当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，
∴φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2．
∵φ'（1）=e-1＞0，φ′(

1

2

)=

e

-2＜0，
∴t∈(

1

2

，1)，
由于函数ϕ（x）=e^x+x-2在(

1

2

，1)上为增函数，
∴φ(x)min=φ(t)=et+t-2＞e

1

2

+

1

2

-2＞

2.25

+

1

2

-2=0，
∴f（x）＜g（x）-2．

点评：本题考查恒成立问题、利用导数研究函数的极值，考查分类整合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．注意认真体会（Ⅱ）问中二次求导的应用．