Question

已知数列{an}满足an+1=

a 2 n +9

2an

，a1＞3
（1）求证a_n＞3；      
（2）比较a_n，a_n+1的大小，并证明
（3）是否存在m∈N⁺，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用数学归纳法证明即可
（2）要判断a_n，a_n+1的大小，只要检验a_n+1-a_n

an2+9

2an

-a_n=与0的大小即可
（3）假设存在使题设成立的正整数m，则由（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²及a_m-3=2a_m+1，可求a_m，检验是否满足a_m＞3

解答：（1）证明：①当n=1时不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即a_k＞3，则ak+1=

ak2+9

2ak

＞

2ak•3

2ak

=3
即当n=k+1时不等式仍成立．
根据①②对任何n∈N^*，都有a_n＞3．…（4分）
（2）∵a_n+1-a_n=

an2+9

2an

-a_n=

9-an2

2an

＜0，
∴a_n+1＜a_n，n∈N^*，…（7分）
（3）假设存在使题设成立的正整数m，则
（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²
即（a_m-3）•

(am+1-3)2

2am+1

=（a_m+1-3）²，
∴a_m-3=2a_m+1，
从而a_m=-3，这不可能．
故不存在m∈N^*，使得（a_m-3）（a_m+2-3）=（a_m+1-3）²．…（11分）

点评：本题主要考查了利用数学归纳法证明数学命题，利用作差法比较两个式子的大小及存在性命题的解决，属于数列知识的综合应用