Question

椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上的点到直线x+2y-

2

=0的最大距离是

10

．

Answer 1

分析：利用椭圆的参数方程来解，根据椭圆的标准方程，得到椭圆的参数方程，所以可设椭圆上的任意一点坐标为（4cosα，2sinα），代入点到直线的距离公式，化简为一角一函数．再根据正弦函数的有界性求出最大值即可．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

16

+

y2

4

=1，
∴可设椭圆上的任意一点P坐标为（4cosα，2sinα）
∴P到直线x+2y-

2

=0的距离d=

|4cosα+2×2sinα- 2|

12+22

=

|4 2 sin(α+ π 4 )- 2|

5

∵-4

2

≤4 

2

sin(α+

π

4

)≤4

2

∴

3 10

5

≤

|4 2 sin(α+ π 4 )- 2|

5

≤

10

∴d的最大值为

10

点评：本题主要考查了直线与椭圆位置关系中，椭圆上点到直线的距离的最值的求法，此类题的关键再与引入一个参数，用参数表示点到直线的距离，再根据参数的范围求距离的最值，经常用到的方法是利用椭圆的参数方程．