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已知f(x)=(1+mx)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013(x∈R)
(1)若m=
2
π
1
-1
(sinx+
1-x2
)dx
,求m、a0及a1的值;
(2)若离散型随机变量X~B(4,
1
2
)且m=EX时,令bn=(-1)nnan,求数列{bn}的前2013项的和T2013
分析:(1)求出原函数,即可求得积分,利用赋值法,可求a0及a1的值;
(2)利用二项分布的期望公式,可求m的值,利用函数关系式,两边求导,再赋值,即可得到结论.
解答:解:(1)∵m=
2
π
1
-1
(sinx+
1-x2
)dx

m=
2
π
1
-1
sinxdx+
2
π
1
-1
1-x2
dx
=
2
π
(-cosx)
1
-1
+
2
π
×
π
2
=1,
则:f(x)=(1+x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013
令x=0得:a0=1,且a1=
C
1
2013
=2013

(2)∵离散型随机变量X~B(4,
1
2
)
且m=EX
∴m=2,
f(x)=(1+2x)2013=a0+a1x+a2x2+…+a2013x2013
则两边取导得:4026(1+2x)2012=a1+2a2x+3a3x2+…+2013a2013x2012
令x=-1得:4026(1-2)2012=a1-2a2+3a3-4a4…+2013a2013
即:-a1+2a2-3a3+4a4-…-2013a2013=-4026;
∴数列{bn}的前2013项的和T2013=-4026.
点评:本题考查定积分,考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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x1+ax
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2
2x+1
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3
5
)的值是(  )
A、
3
5
B、-2
C、
1
2
D、
5
3

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