试题分析:
思路分析:(Ⅰ)根据f(x)在[-1,1]上是增函数,可得到f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x
2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.转化成
(x)=x
2-ax-2,二次函数问题。处理的方法较多。
(Ⅱ)由
从而可以得到x
2-ax-2=0的两非零实根x
1,x
2的关系,将问题转化成
“要使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m
2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立“同样将问题转化成二次函数问题。
解:(Ⅰ)f'(x)=4+2
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x
2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设
(x)=x
2-ax-2,
方法一:
①
-1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
①
或
0≤a≤1或-1≤a<0
-1≤a≤1.
∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由
∵△=a
2+8>0
∴x
1,x
2是方程x
2-ax-2=0的两非零实根,
∴
从而|x
1-x
2|=
=
.
∵-1≤a≤1,∴|x
1-x
2|=
≤3.
要使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m
2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. ②
设g(t)=m
2+tm-2=mt+(m
2-2),
方法一:
②
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
当m=0时,②显然不成立;
当m≠0时,
②
或
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
点评:中档题,本题主要利用“转化与化归思想”,将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题,通过确定函数的最值,达到确定参数范围的目的。