Question

△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，

m

=(a+b，c)，

n

=(b-a，c-b)，若

m

⊥

n

，则sinB+sinC的取值范围是（　　）

• A．(-

  1

  2

  ，0 ]
• B．（

  3

  2

  ，

  3

  ]
• C．[

  1

  2

  ，1）
• D．[

  3

  2

  ，1）

Answer 1

分析：利用向量的坐标运算结合余弦定理可求得角A，从而利用两角和的正弦与辅助角公式可求sinB+sinC的取值范围．

解答：解：∵

m

=（a+b，c），

n

=（b-a，c-b），

m

⊥

n

，
∴（a+b）（b-a）+c（c-b）=0，
∴a²=b²+c²-bc，
由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=

1

2

，而A为△ABC的内角，
∴A=

π

3

．
∵△ABC中，A+B+C=π，
∴B+C=π-A=

2π

3

，
∴sinB+sinC
=sin（

2π

3

-C）+sinC
=

3

2

cosC-（-

1

2

）sinC+sinC
=

3

2

sinC+

3

2

cosC
=

3

sin（C+

π

6

）．
∵0＜C＜

2π

3

，故

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

．
∴

1

2

＜sin（C+

π

6

）≤1．
∴

3

2

＜

3

sin（C+

π

6

）≤

3

．即

3

2

＜sinB+sinC≤

3

．
故选B．

点评：本题考查余弦定理，考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查三角函数间的关系式，属于中档题．