Question

已知函数．
（I）若，求函数f（x）的极值；
（II）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a取值范围．

Answer 1

解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f^′（x）=，
当时，=，
令f^′（x）=0，解得或2．列表：

x				2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	等单调递增

函数f（x）在处取得极大值，
函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2-；
（II），当x∈（1，3）时，，
（i）当1+a≤2，即a≤1时，x∈（1，3），f^′（x）＞0，函数f（x）在（1，3）是增函数，
?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；
（ii）当，即时，x∈（1，3）时，f^′（x）＜0，函数f（x）在（1，3）是减函数，
?x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合题意，应舍去；
（iii）当2＜1+a＜，即时，x∈（1，3）时，f^′（x）先取负，再取0，最后取正，函f（x）在（1，3）先递减，再递增，而f（1）=0，∴?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；
综上，a的取值范围是（-∞，1）．
分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，利用导数在某点取得极值的条件即可得出；
（Ⅱ）先求导，通过对a分类讨论以确定f^′（x）的正负，即函数f（x）的单调性即可得出．
点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数研究函数的单调性等性质是解题的关键．