Question

（本小题满分12分）
一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍.
（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论；
（2）记为数列的前项的和。当从B口得到399的倒数时，求此时对应的的值.

Answer 1

（1）由已知得  
当时，，  1分
同理可得        ……………（ 2分）
猜想   ……………（2分）
下面用数学归纳法证明成立
①当时，由上面的计算结果知成立  
②假设时，成立，即 ，
那么当时，

即         
当时，也成立                              
综合①②所述，对 ，成立。
……………（ 4分）
（2）由（1）可得
                                       ……………（2分）  

……………（2分）               

略