Question

如图，从双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（　　）

• A、|MO|-|MT|＞b-a
• B、|MO|-|MT|＜b-a
• C、|MO|-|MT|=b-a
• D、以上三种可能都有

Answer 1

分析：将点P置于第一象限．设F₁是双曲线的右焦点，连接PF₁．由M、O分别为FP、FF₁的中点，知|MO|=

1

2

|PF₁|．由双曲线定义，知|PF|-|PF₁|=2a，|FT|=

|OF|2-|OT|2

=b．由此知|MO|-|MT|=

1

2

（|PF₁|-|PF|）+|FT|=b-a．

解答：解：将点P置于第一象限．
设F₁是双曲线的右焦点，连接PF₁
∵M、O分别为FP、FF₁的中点，∴|MO|=

1

2

|PF₁|．
又由双曲线定义得，
|PF|-|PF₁|=2a，
|FT|=

|OF|2-|OT|2

=b．
故|MO|-|MT|
=

1

2

|PF1|-|MF|+|FT|
=

1

2

（|PF₁|-|PF|）+|FT|
=b-a．
故选C．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．