Question

已知奇函数f（x）对任意实数x满足f（2-x）=f（x）且当x∈[0，1]时，f（x）=x•4^x，则在区间[0，8]上，不等式f（x）＞1的解是

 

．

Answer 1

分析：先利用条件求出x∈[0，1]时，不等式f（x）＞1的解，再利用题中条件f（2-x）=f（x）求得的对称轴以及奇函数与f（2-x）=f（x）求得的周期来求在区间[0，8]上，不等式f（x）＞1的解即可．

解答：解：由x∈[0，1]时，f（x）=x•4^x＞1解得

1

2

＜x≤1，
由于f（2-x）=f（x）得函数关于直线x=1对称，
所以函数在x∈[1，2]时，f（x）＞1可解得1≤x＜

3

2

，
即在x∈[0，2]时，满足f（x）＞1的解为（

1

2

，

3

2

），
又函数为奇函数，f（x）=-f（-x），所以得f（2-x）=-f（-x），可得周期为4．
所以当x∈（

1

2

+4，

3

2

+4）即x∈（

9

2

，

11

2

），也满足f（x）＞1．
故答案为    （

1

2

，

3

2

）∪（

9

2

11

2

）．

点评：本题主考查抽象函数的周期性、对称性以及奇偶性，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．