Question

（2012•泸州一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4，可求几何量，从而求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先猜想定点坐标为A（1，0），再设Q（m，n），则P（m，-n），证明直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上，从而得证．

解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是焦距的2倍
∴2a=2（2c），∴a=2c
∵右准线方程为x=4，∴

a2

c

=4，∴a²=4c
∴4c²=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=

a2-c2

=

3

所以椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：不妨取Q（0，

3

），则P（0，-

3

）
∴直线PD的方程为

x

4

+

y

- 3

=1，即y=

3

4

x-

3

代入椭圆方程可得：5x²-8x=0
∴x=0，或x=

8

5

∴R（

8

5

，-

3

5

3

）
∴直线QR的方程为y=-

3

x+

3

令y=0，可得x=1，故猜想定点坐标为A（1，0）
设Q（m，n），则P（m，-n），∴直线PD的方程为：y=

n

4-m

(x-4)①
直线QA的方程为y=

n

m-1

(x-1)②
联立①②可得

y= n 4-m (x-4) y= n m-1 (x-1)

，解得

x= 5m-8 2m-5 y= 3n 2m-5

代入椭圆方程的左边可得

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

(3n)2

3(2m-5)2

∵Q（m，n）在椭圆上，∴

m2

4

+

n2

3

=1，∴n2=3-

3

4

m2
∴

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

(3n)2

3(2m-5)2

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

9- 9 4 m2

(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
即直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上
故直线QR过定点（1，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，利用先猜后证的方法，解题的关键是确定定点的坐标，属于中档题．