Question

已知函数f（x）满足f（log_ax）=

a

a2-1

（x-x^-1），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x-4）的值恒为负数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意，用换元法求出f（x）的解析式，进而分析函数的单调性和奇偶性，将已知不等式转化为f（1-m）＜f（m²-1），进而转化为

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解可得答案；
（2）由（1）中的单调性可将f（x-4）的值恒为负数转化为f（2）-4≤0，解不等式即可．

解答：解：（1）根据题意，令log_ax=t，则x=a^t，
所以f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)，即f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)
当a＞1时，因为a^x-a^-x为增函数，且

a

a2-1

＞0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为a^x-a^-x为减函数，且

a

a2-1

＜0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（-1，1）上为增函数．
又因为f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）在（-1，1）上为增函数，可得

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

解得1＜m＜

2

，即m的值的集合为{m|1＜m＜

2

}
（2）由（1）可知，f（x）为增函数，
则要使x∈（-∞，2），f（x）-4的值恒为负数，
只要f（2）-4＜0即可，即f（2）=

a

a2-1

(a2-a-2)=

a

a2-1

a4-1

a2

=

a2+1

a

＜4，又a＞0
解得2-

3

＜a＜2+

3

又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2-

3

，1）∪（1，2+

3

）．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，是综合题，解题时尤其注意正确求解不等式组的解集．