Question

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a、b、c．设

m

=（cosA，sinA），

n

=（cosA，-sinA），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）若b=2

2

，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得

m

•

n

=cos2A=

1

2

，结合角的范围可得A=

π

3

，由正弦定理和已知可得三角形外接圆的半径R=2，进而可得B=

π

4

，由两角和的正弦公式可得sinC，代入面积公式S=

1

2

absinC计算可得；
（Ⅱ）由余弦定理和已知数据可得b²+c²-bc=12，由基本不等式可得（b+c）²=3bc+12≤3(

b+c

2

)2+12，解关于b+c的不等式可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

m

•

n

=cos²A-sin²A=cos2A=

1

2

，
∵在锐角△ABC中，0＜A＜

π

2

，∴0＜2A＜π，∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得a=2RsinA=2R

3

2

=2

3

，解得R=2
由b=2RsinB得sinB=

2

2

，又b＜a，∴B=

π

4

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

•

2

2

+

1

2

•

2

2

=

6 + 2

4

∴△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

•2

3

•2

2

•

6 + 2

4

=3+

3

．
（Ⅱ）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=12，
∴（b+c）²=3bc+12≤3(

b+c

2

)2+12，解不等式可得b+c≤4

3

，
当且仅当b=c时取等号，∴b+的最大值4

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积与正余弦定理的应用，涉及基本不等式的应用，属中档题．