Question

（2013•眉山一模）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，设

m

=（sin（

π

4

-A），1），

n

=（2sin（

π

4

+1），-1），a=2

3

，且

m

•

n

=-

3

2

．
（1）若b=2

2

，求△ABC的面积；
（2）求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）通过向量的数量积二倍角的余弦函数，求出A的二倍角的余弦值，然后求出A．通过正弦定理求出R，然后求出三角形的面积．
（2）解法1：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，结合不等式求出b+c的最大值为4

3

．
解法2：由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

，利用两角和与差的三角函数，根据角的范围，求出b+c的最大值．

解答：解：（1）

m

•

n

=2sin（

π

4

-A）sin（

π

4

+A）-1
=2sin（

π

4

-A）cos（

π

4

-A）-1
=sin（

π

2

-2A）-1=cos2A-1=-

3

2

，
∴cos2A=-

1

2

，…（3分）
∵0＜A＜

π

2

，∴0＜2A＜π，∴2A=

2π

3

，A=

π

3

   …（4分）
设△ABC的外接圆半径为R，由a=2RsinA得2

3

=2R×

3

2

，∴R=2
由b=2RsinB得sinB=

2

2

，又b＜a，∴B=

π

4

，…（5分）
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

•

2

2

+

1

2

•

2

2

=

6 + 2

4

，…（6分）
∴△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

•2

3

•2

2

•

6 + 2

4

=3+

3

．…（7分）
（2）解法1：由a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=12，…（9分）
∴（b+c）²=3bc+12≤3（

b+c

2

）²+12，…（11分）
∴（b+c）²≤48，即b+c≤4

3

，（当且仅当b=c时取等号）
从而b+c的最大值为4

3

．…（12分）
解法2：由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2 3

sin π 3

=4，又B+C=π-A=

2π

3

，…（8分）
∴b+c=4（sinB+sinC）=4[sinB+sin（

2π

3

-B）]=6sinB+2

3

cosB=4

3

sin（B+

π

6

），…（10分）
∴当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，b+c取得最大值4

3

．…（12分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．