Question

对x∈（-∞，-1]时（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，则m的取值范围是

（-2，3）

．

Answer 1

分析：由题意，x∈（-∞，-1]时（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立，求m的范围，可以将不等式变为m²-m＜

1

2x

+

1

4x

在x∈（-∞，-1]恒成立，由此问题变化为求

1

2x

+

1

4x

在x∈（-∞，-1]的最小值，再令此最小值大于m²-m，解此不等式即可求出m的取值范围

解答：解：由题意，x∈（-∞，-1]时（m²-m）4^x-2^x-1＜0恒成立可转化为m²-m＜

1

2x

+

1

4x

在x∈（-∞，-1]恒成立
令t=

1

2x

，由于x∈（-∞，-1]，可得t∈[2，+∞）
问题转化为m²-m＜t²+t，t∈[2，+∞）恒成立
由于t²+t=(t+

1

2

)2-

1

4

≥6，等号当t=2时取到，即t²+t，t∈[2，+∞）的最小值为6
所以m²-m＜6，解得-2＜m＜3
m的取值范围是（-2，3）
故答案为（-2，3）

点评：本题考查函数恒成立求参数的问题，考查了求指数函数的值域，二次函数在闭区间上的最值及恒成立问题的转化，解题的关键是将函数恒成立求参数转化为求最值的问题，分离常数是变形的重点，函数恒成立求参数是一类有难度的题目，本题具有一般性，此类题一般都可如本题一样转化为最值问题解决，本题考查了函数思想转化的思想，判断推理的能力，转化化归的能力，由于本题具有一般性，解法可以推广，题后注意总结做题的规律