Question

设F₁、F₂为曲线C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦点，P是曲线C₂：

x2

3

-y²=1与C₁的一个交点，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A．

  1

  4

• B．1
• C．

  2

• D．2

  2

Answer 1

分析：根据双曲线和椭圆的定义可得 PF₁+PF₂=2

6

，PF₁-PF₂=2

3

，△PF₁F₂中，由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=

1

3

，故 sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，
由△PF₁F₂的面积为

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂运算得到结果．

解答：解：由曲线C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的方程可得a=

6

，c=2，即F₁ （-2，0）、F₂（2，0），
再由椭圆的定义可得PF₁+PF₂=2

6

．
又因曲线C₂：

x2

3

-y²=1与C₁的焦点相同，再由双曲线的定义可得
PF₁-PF₂=2

3

．
∴PF₁=

6

+

3

，PF₂=

6

-

3

．
△PF₁F₂中，由余弦定理可得  16=（

6

+

3

）²+（

6

-

3

）²-2（

6

+

3

）（

6

-

3

）cos∠F₁PF₂，
解得 cos∠F₁PF₂=

1

3

，
∴sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，
△PF₁F₂的面积为

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=

1

2

（

6

+

3

）（

6

-

3

）sin∠F₁PF₂=

2

，
故答案为：C．

点评：本题考查双曲线和椭圆的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出PF₁=

6

+

3

，PF₂=

6

-

3

，sin∠F₁PF₂ 的值，是解题的关键．