Question

已知椭圆中心为坐标原点O，对称轴为坐标轴，左焦点F₁，右顶点和上顶点分别是A，B，P为椭圆上的点，当PF₁⊥x轴，且PO∥AB时，椭圆的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2

  -1
• D．

  6

  -

  3

Answer 1

分析：根据题意，算出P（-c，

b2

a

）．由PO∥AB，得PO、AB的斜率相等，由直线的斜率公式列式，解出b=c，进而得到
a=

2

c，可得该椭圆的离心率．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
可得F₁（-c，0），c²=a²-b²，则P（-c，b

1- c2 a2

），即P（-c，

b2

a

）．
∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，
即-

b

a

=-

b2

ac

，解得b=c．
两边平方，得b²=a²-c²=c²，解得a=

2

c
∴椭圆的离心率为e=

c

a

=

2

2

故选：B

点评：本题给出椭圆上点P，P在长轴的射影为左焦点，且OP与长、短轴的端点连线平行，求椭圆的离心率．着重考查了直线的斜率公式、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．