Question

过双曲线

y2

3

-x2=1的上支上一点P作双曲线的切线分别交两条渐近线于点A，B．（1）求证：

OA

•

OB

为定值．（2）若

OB

=

AM

，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀）是双曲线上任一点，先求曲线在P点处的切线方程，再将切线方程与两条渐近线联立即可解得A、B的坐标，从而证明

OA

•

OB

为定值；（2）设动点M（x，y），由

OB

=

AM

，得

OM

=

OA

+

OB

，将向量坐标代入即可得M点坐标与P点坐标间的关系，代入点P的轨迹即可得动点M的轨迹方程．

解答：解．（1）∵双曲线

y2

3

-x2=1的上支可表示为函数y=

3+3x2

，且y′=

1

2

×

6x

3+3x2

=

3x

3+3x2

设P（x₀，y₀）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y₀=

3x 0

3+3x 02

（x-x₀）
即y-y₀=

3x 0

y0

（x-x₀），即y₀y-3x₀x=3，
与渐近线方程y=

3

x联立，解得A(

3

y0- 3 x0

，

3

y0- 3 x0

)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±

3

x0≠0）；
与渐近线y=-

3

x联立，解得B(

- 3

y0+ 3 x0

，

3

y0+ 3 x0

)，
∴

OA

•

OB

=

-3

y 2 0 -3 x 2 0

+

9

y 2 0 -3 x 2 0

=

-3

3

+

9

3

=2（定值）
（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由

OB

=

AM

知

OM

=

OA

+

OB

，由（1）有

x= 3 y0- 3 x0 + - 3 y0+ 3 x0 y= 3 y0- 3 x0 + 3 y0+ 3 x0

即

x0= x 2 y0= y 2

再由P（x₀，y₀）在双曲线

y2

3

-x2=1 （y＞0）上
∴

y 2 0

3

-

x

2 0

=1，
∴

y2 4

3

-

x2

4

=1
故所求轨迹为

y2

12

-

x2

4

=1(y＞0)．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其几何意义，切线方程的求法，代入法求动点的轨迹方程