Question

下列说法：
①用“辗转相除法”求得243，135 的最大公约数是9；
②命题p：?x∈R，x2-x+

1

4

＜0，则?p是?x0∈R，x02-x0+

1

4

≥0；
③已知条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q成立的充分不必要条件；
④若

a

=(1，0，1)，

b

=(-1，1，0)，则＜

a

，

b

＞=

π

2

；
⑤已知f(n)=

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

，则f（n）中共有n²-n+1项，当n=2时，f(2)=

1

2

+

1

3

+

1

4

；
⑥直线l：y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1的左支有且仅有一个公共点，则k的取值范围是-1＜k＜1或k=

2

．
其中正确的命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：根据最大公约数的定义及辗转相除法的运算规则，我们可以求出243，135 的最大公约数，判断①的真假；根据全称命题的否定方法，写出命题非p，可以判断出②的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断③的真假；根据向量垂直的充要条件，我们易判断

a

⊥

b

，进而得到④的真假；根据已知中f（n）的表达式从n开始，到n²结束，我们易确定f（n）的项数，进而判断⑤的真假，根据直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线左支相切，或夹在两条渐近线之间，我们易求出k的取值范围，进而判断⑥的真假，进而得到答案．

解答：解：用“辗转相除法”求得243，135 的最大公约数是27，故①错误；
命题p：?x∈R，x2-x+

1

4

＜0，则?p是?x0∈R，x02-x0+

1

4

≥0，故②正确；
已知条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q成立的充分不必要条件，故③正确；
若

a

=(1，0，1)，

b

=(-1，1，0)，

a

•

b

=0，即

a

⊥

b

，则＜

a

，

b

＞=

π

2

，故④正确；
已知f(n)=

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

，则f（n）中共有n²-n+1项，当n=2时，f(2)=

1

2

+

1

3

+

1

4

，故⑤正确；
直线l：y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1的左支有且仅有一个公共点，则k的取值范围是-1＜k≤1或k=

2

，故⑥错误．
故答案为：②③④⑤

点评：本题的考查的知识点是命题的真假判断与应用，直线与圆锥曲线的关系，空间向量的夹角与距离，辗转相除法，熟练掌握这些基本知识点，并逐一判断题目中各命题的真假是解答本题的关键．