Question

12．已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n为奇数\\{b_n}，n为偶数\end{array}\right.$问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：$\frac{1}{{|{p_1}{p_2}{|^2}}}+\frac{1}{{|{p_1}{p_3}{|^2}}}+…+\frac{1}{{|{p_1}{p_n}{|^2}}}＜\frac{2}{5}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，∴b_n=2a_n+2，∵P₁为直线l与x轴的交点，∴P₁（-1，0），即a₁=-1，b₁=0．利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n为奇数\\{b_n}，n为偶数\end{array}\right.$．假设存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立．对k分类讨论即可得出．
（III）P₁（-1，0），P_n（n-2，2n-2），$|{P}_{1}{P}_{n}{|}^{2}$=（n-1）²+（2n-2）²=5（n-1）²．（1）n=2时，$|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}$=5，则$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，即可证明．
（2）n≥3时，$\frac{1}{（n-1）^{2}}$$＜\frac{1}{（n-2）（n-1）}$=$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$．利用“裂项求和”方法即可证明．

解答 （I）解：点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，∴b_n=2a_n+2，
∵P₁为直线l与x轴的交点，∴P₁（-1，0），即a₁=-1，b₁=0．
∵数列{a_n}成等差数列，公差为1．∴a_n=-1+（n-1）=n-2．
b_n=2（n-2）+2=2n-2．
（II）解：$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n为奇数\\{b_n}，n为偶数\end{array}\right.$．
假设存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立．
k为奇数时，f（k）=k-2，f（k+5）=2（k+5）-2，
则2（k+5）-2=2（k-2）-2，化为：10=-4，不成立，舍去．
k为偶数时，f（k）=2k-2，f（k+5）=k+5-2=k+3，
则k+3=2（2k-2）-2，化为：3k=9，解得k=3，不成立．
故不存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立．
（III）证明：P₁（-1，0），P_n（n-2，2n-2），
$|{P}_{1}{P}_{n}{|}^{2}$=（n-1）²+（2n-2）²=5（n-1）²．
（1）n=2时，$|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}$=5，则$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{1}{5}$$＜\frac{2}{5}$．
（2）n≥3时，$\frac{1}{（n-1）^{2}}$$＜\frac{1}{（n-2）（n-1）}$=$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$．
∴$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{5}$$[1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）]$=$\frac{1}{5}（2-\frac{1}{n-1}）$$＜\frac{2}{5}$，
综上可得：$\frac{1}{{|{p_1}{p_2}{|^2}}}+\frac{1}{{|{p_1}{p_3}{|^2}}}+…+\frac{1}{{|{p_1}{p_n}{|^2}}}＜\frac{2}{5}$（n≥2，n∈N^*）．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．