Question

16．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ前三项的系数成等差数列，求n的值以及中间项．

Answer 1

分析 由条件根据通项公式求得2${C}_{n}^{1}$•2^-1=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$•2^-2，可得n=8，从而求得它的中间项．

解答 解：根据（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{n-2r}{2}}$的前三项的系数成等差数列，
可得 2${C}_{n}^{1}$•2^-1=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$•2^-2，求得n=1（舍去）或n=8，
故它的中间项为T₅=${C}_{8}^{4}$•2^-4=70．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．