Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为θ的直线l.设l交抛物线于A、B两点.求：

（1）|AB|；（2）|AB|的最小值.?

Answer 1

思路分析：直线与二次曲线方程组成方程组，结合韦达定理、弦长公式或用焦半径公式表示出|AB|，对|AB|最小值的考查，要求对三角函数知识应熟练掌握.?

解：（1）当θ=90°时，直线AB的方程为 x=.??

由得A（,-p），B（,p）.

∴|AB|=2p.?

当θ≠90°时，直线AB的方程为y=（x-）tanθ.?

由得tan²θ·x²-（2p+ptan²θ）x+·tan²θ=0.?

设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,则?

x₁+x₂=，

∴|AB|=x₁++x₂+=p+=.

（2）由（1）知，当θ=90°时，|AB|最小值为2p.

温馨提示

求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径利用焦半径公式结合韦达定理来求.过焦点的最短弦（与对称轴垂直）是抛物线的通径.