Question

探究函数f（x）=x+

4

x

，x∈（-∞，0）的最大值，并确定取得最大值时x的值．列表如下：

x	…	-3	-2.3	-2.2	-2.1	-2	-1.9	-1.7	-1.5	-1	-0.5	…
y	…	-4.3	-4.04	-4.02	-4.005	-4	-4.005	-4.05	-4.17	-5	-8.5	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=x+

4

x

，x∈（-∞，0）在区间

 

上为单调递增函数．当x=

 

时，f（x）_最大=

 

．
（2）证明：函数f（x）=x+

4

x

在区间[-2，0）为单调递减函数．

Answer 1

分析：（1）结合所给的表格可得，函数f（x）在区间（-∞，-2）上的单调性及最大值．
 （2）任取-2≤x₁＜x₂＜0，依据条件求得f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函数y=f（x）是[-2，0）上的减函数．

解答：解：（1）结合所给的表格可得，函数f（x）在区间（-∞，-2）上单调递增，
当x=-2时，f（x）_max=-4．
故答案为：（-∞，-2）、-2、-4．
 （2）任取-2≤x₁＜x₂＜0，
∵f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)，
 由题设可得0＜x₁x₂＜4，∴1-

4

x1x4

＜0；
 又x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），故函数y=f（x）是[-2，0）上的减函数．

点评：本题主要考查函数的单调性的证明和性质，属于中档题．