Question

12．在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρsin（β+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=-1+sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数，0≤θ≤π）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C₁与C₂有两个公共交点时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展开两角和的正弦，结合x=ρcosβ，y=ρsinβ求得C₁的直角坐标方程，利用平方关系消去θ求得C₂的普通方程；
（Ⅱ）由曲线C₂的圆心到直线C₁的距离小于圆的半径列式求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin（β+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，得$ρ（sinβcos\frac{π}{4}+cosβsin\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ（sinβ+cosβ）=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴C₁的直角坐标方程为x+y=a．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=-1+sinθ}\end{array}\right.$，得（x+1）²+（y+1）²=1．
∴C₂的普通方程为（x+1）²+（y+1）²=1；
（Ⅱ）圆（x+1）²+（y+1）²=1的圆心坐标为（-1，-1），半径为1，
要使C₁与C₂有两个公共交点，则圆心（-1，-1）到直线x+y-a=0的距离小于圆的半径1．
即$\frac{|-1-1-a|}{\sqrt{2}}＜1$，解得：$-2-\sqrt{2}＜a＜-2+\sqrt{2}$．
∴实数a的取值范围是（-2-$\sqrt{2}，-2+\sqrt{2}$）．

点评 本题考查极坐标方程化直角坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆的位置关系，是基础题．