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    【题目】2017年1月1日，作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公园之一的泉湖公园正式开园.元旦期间，为了活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放.现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：

    （1）根据条件完成下列

    列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？

    愿意

    不愿意

    总计

    男生

    女生

    总计

    （2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为

    ，记甲通过的关数为

    ，求

    的分布列和数学期望.

    参考公式与数据：

    0.1

    0.05

    0.025

    0.01

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    .

    【答案】（1）见解析;

    （2）

    的分布列为：

    0

    1

    2

    .

    【解析】试题分析：（1）根据比例确定人数，填入对应表格，再根据卡方公式计算

    ，最后对照数据判断结论不成立，（2）先确定随机变量可能取法0，1，2，再分别计算对应概率（可利用对立事件概率求法求较复杂事件的概率），列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.

    试题解析：

    （1）

    愿意

    不愿意

    总计

    男生

    15

    45

    60

    女生

    20

    20

    40

    总计

    35

    65

    100

    ，

    则不能认为在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关.

    （2）记男生甲第

    次通过第一关为

    ，第

    次通过第二关为

    ，

    的可能取值为0，1，2.

    ，

    ，

    ∴

    ，

    的分布列为：

    0

    1

    2

    ∴

    .

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    甲 82 81 79 78 95 88 93 84

    乙 92 95 80 75 83 80 90 85

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    （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）分析，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由

    参考公式：

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    （1）当时，在处取得极值，求函数的单调区间；

    （2）若时，函数有两个不同的零点，

    ①求的取值范围；

    ②求证：．

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    ，曲线

    过点

    ，且在点

    处的切线方程为

    .

    （1）求

    的值；

    （2）证明：当

    时，

    ；

    （3）若当

    时，

    恒成立，求实数

    的取值范围.

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    （2）证明：当时，

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