Question

（2010•江西模拟）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，若函数f（x）=x²-2x+3与g（x）=3x-2在区间[m，n]上是接近的，给出如下区间：（1）[1，4]（2）[1，2]（3）[1，2]∪[3，4]（4）[1，

3

2

]∪[3，4]，则区间[m，n]可以是

（2）（3）（4）

（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析：根据题中的新定义可知，若函数y=x²-2x+3与函数y=3x-2在区间[m，bn上是接近的，得两函数解析式之差的绝对值小于等于1，分两种情况分别求出两不等式的解集，然后求出两解集的交集即可求出x的取值范围即为新定义中的区间，然后再对（1）（2）（3）（4）进行判断；

解答：解：根据函数y=x2-3x+4与函数y=2x-3在区间[a，b]上是接近的，
可得：|（x²-2x+3）-（3x-2）|≤1，
即x²-5x+4≤0…①
x²-5x+6≥0…②，
由①得：（x-1）（x-4）≤0，解得：1≤x≤4；
由②得：（x-2）（x-3）≥0，解得：x≥3或x≤2
综上，x∈[1，2]∪[3，4]．
∵（1）[1，4]?[1，2]∪[3，4]；（2）[1，2]⊆[1，2]∪[3，4]；（3）[1，2]]∪[3，4]⊆[1，2]∪[3，4]；
（4）[1，

3

2

]∪[3，4]⊆[1，2]∪[3，4]；
∴区间[m，n]可以是（2）（3）（4）；
故答案为：（2）（3）（4）；

点评：此题考查学生掌握新定义并灵活运用新定义化简求值，是一道综合题，解题的关键还是要正确求解绝对值不等式．