Question

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（千台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为3.2万元，并且每生产1千台的生产成本为4万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=

-0.5x2+8x-1.2，0≤x≤5 3x+11.4            ， x＞5

，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（Ⅰ）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意得G（x）=3.2+4x，由R（x）=

-0.5x2+8x-1.2，0≤x≤5 3x+11.4            ， x＞5

，f（x）=R（x）-G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.5（x-4）²+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得G（x）=3.2+4x．…（2分）
∴f（x）=R（x）-G（x）=

-0.5x2+4x-4.4，0≤x≤5 8.2-x，x＞5

．…（8分）
（Ⅱ）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）
当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.5（x-4）²+3.6，
所以当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．  …（14分）
所以当工厂生产4千台产品时，可使赢利最大，且最大值为3.6万元．…（16分）

点评：本题综合考查了总成本=固定成本+生产成本、利润=销售收入-总成本、分段函数的性质、二次函数与一次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于中档题．