Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前项和{a_n}满足：4S_n=a_n²+2a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=

16(n+1)

(n+2)2 a 2 n

，数列{b_n}的前n项和为T_n．证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得2（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n），从而a_n+1-a_n=2，又4S₁=a12+2a1，解得a₁=2，由此能求出a_n=2n．
（Ⅱ）由b_n=

16(n+1)

(n+2)2 a 2 n

=

16(n+1)

4n2(n+2)2

=

4(n+1)

n2(n+2)2

=

1

n2

-

1

(n+2)2

，利用裂项求和法能证明对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

解答： （Ⅰ）解：∵各项均为正数的数列{a_n}的前项和{a_n}满足：4S_n=a_n²+2a_n，①
∴4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1，②
②-①，得：4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n，
2（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n），
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是公差为1的等差数列，
n=1时，4S₁=a12+2a1，解得a₁=2，
∴a_n=2n．
（Ⅱ）证明：∵b_n=

16(n+1)

(n+2)2 a 2 n

=

16(n+1)

4n2(n+2)2

=

4(n+1)

n2(n+2)2

=

1

n2

-

1

(n+2)2

，
∴T_n=1-

1

9

+

1

4

-

1

16

+

1

9

-

1

25

+…+

1

n2

-

1

(n+2)2

=1+

1

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

=

5

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

＜

5

4

．
∴对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．