Question

（08年天津南开区质检二文）（14分）

已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。椭圆上不同的两点满足条件：成等差数列。

（1）求该椭圆的方程；

（2）求弦AC中点的横坐标；

（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。

 

Answer 1

解析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力。

（1）解：由椭圆定义及条件知，得，又

所以，故椭圆方程为（5分）

（2）解：由点B（4，）在椭圆上，得

因为椭圆右准线方程为，离心率为

根据椭圆定义，有

由成等差数列，得

由此得出，设弦AC的中点为P（）

则 （10分）

（3）解：由在椭圆上，得 ①

 ②

①－②得

即

将代入上式，得

由上式得（当时也成立）（12分）

由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得

所以

由P（4，）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得，所以（14分）