Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数k，使得a_k、S_2k、a_4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．取n=1，可得1+a₂-2=1，解得即可．
（2）由nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．变形为

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，利用等差数列的通项公式可得

Sn

n

，再利用递推式即可得出．
（3）假设存在正整数k，使得a_k、S_2k、a_4k成等比数列，则

S

2 2k

=a_k•a_4k，代入解出即可．

解答： 解：（1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．取n=1，可得1+a₂-2=1，解得a₂=2．
（2）∵nS_n+1-（n+1）S_n=

n(n+1)

2

，n∈N^*．变形为

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，
∴数列{

Sn

n

}是等差数列，首项为1，公差为

1

2

，
∴

Sn

n

=1+

1

2

(n-1)，化为Sn=

n(n+1)

2

，
当n≥2时，Sn-1=

n(n-1)

2

，∴a_n=S_n-S_n-1=n，当n=1时，等式也成立，
∴a_n=n．
（3）假设存在正整数k，使得a_k、S_2k、a_4k成等比数列，
则

S

2 2k

=ak•a4k，
∴[

2k(2k+1)

2

]2=k×4k，
化为2k+1=2，
解得k=

1

2

，舍去．
因此不存在正整数k，使得a₃、S₆、a₁₂成等比数列．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．