Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂为左右焦点，|F₁F₂|=2，椭圆上一动点P，左顶点为A，且cos∠F₁PF₂的最小值为

1

2

．
（1）椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN，垂足为H，且

AH

2=

MH

•

HN

，直线l是否过定点，如果过定点求出定点坐标，不过说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用余弦定理结合基本不等式求出cos∠F₁PF₂的最小值．通过椭圆的定义求出a，b，然后求解椭圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合

AH

2=

MH

•

HN

，推出AH⊥MN，然后求出m与k的关系，利用直线系求出直线恒过的定点．

解答： 解：（1）因为P是椭圆上的点，所以|PF₁|+|PF₂|=2a，
在△F₁PF₂中，有余弦定理可得：cos∠F1PF2=

P F 2 1 +P F 2 2 -F1 F 2 2

2PF1PF2

=

(PF1+PF2)2-4

2PF1PF2

-1≥

(PF1+PF2)2-4

(PF1+PF2)2 2

-1=

1

2

，
当且仅当PF₁=PF₂时取等号，
∴

4a2-4

2a2

-1=

1

2

⇒a2=4，|F₁F₂|=2，可得c=2，∴b²=3，
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立直线与椭圆方程，
即

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

∵直线与椭圆有两个交点
∴△＞0⇒3+4k²＞m²，
∵

AH

2=

MH

•

HN

，∴AH⊥MN⇒AM⊥AN⇒

(x1+2)(x2+2)+y1y2=0 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)

⇒4k2-16km+7m2=0
解得m=2k或m=

2

7

k
当m=2k直线l过点A（舍去），
当m=

2

7

k时，直线l：y=kx+

2

7

k，过定点(-

2

7

，0)．

点评：本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．