Question

某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1，参考数据：lg2=0.301）

Answer 1

分析：（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，求出参数值后，即可得到函数的解析式．
（2）由（1）的结论我们将函数值1代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于1微克时的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．

解答：解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，
由于过原点与点（1，4），故其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=a（0.8）^t，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=0.8a，解得a=5
故第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）=

4t     ，0≤t≤1 5(0.8)t， t＞1

；
（2）由题意，令f（t）≥1，
即4t≥1，解得t≥0.25，
5（0.8）^t≥1，解得t≤log_0.80.2=

lg0.2

lg0.8

=

lg2-1

3lg2-1

≈7.2
7.2-0.25=6.95
∴服药后0.25小时开始生效，治疗效果能够持续约7小时．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．