Question

【题目】已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna，对x1 ， x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围

Answer 1

【答案】a≥e
【解析】f′（x）=axlna+2x﹣lna=（ax﹣1）lna+2x，
当a＞1时，x∈[0，1]时，ax≥1，lna＞0，2x≥0，
此时f′（x）≥0；
f（x）在[0，1]上单调递增，
f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，
而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，
由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，
故答案为：a≥e．
对x1 ， x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min ， 利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．