Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）E、F是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使AC两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF；
（2）若BE=BF=λBC，求λ的范围并求三棱锥A′-EFD的体积．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知：A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，由此能够证明A'D⊥面A'EF，从而得到A'D⊥EF．
 （2）取EF中点G，连接A'G，则A'G⊥EF，由BE=BF=λBC=2λ，∠EBF=90°，知EF=2

2

λ，A'E=A'F=2-2λ，A′G=

2λ2-8λ+4

，要使A、C两点能重合于点A'，则在△A'EF中，A'E+A'F＞EF，由此能求出λ的范围和三棱锥A′-EFD的体积．

解答：（1）证明：∵边长为2的正方形ABCD中，
E、F是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使AC两点重合于点A′，
∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，A'E∩A'F=A'，
∴A'D⊥面A'EF，
∵EF?面A'EF，∴A'D⊥EF．
 
（2）解：取EF中点G，连接A'G，则A'G⊥EF，
∵BE=BF=λBC=2λ，∠EBF=90°，∴EF=2

2

λ，
A'E=A'F=2-2λ，A′G=

2λ2-8λ+4

，
要使A、C两点能重合于点A'，则在△A'EF中，A'E+A'F＞EF
即2(2-2λ)＞2

2

λ，
∴0＜λ＜2-

2

，
∵DA'⊥A'F，A'D⊥EF，∴A'D⊥面A'EF，
则VA′-EFD=

1

3

SA′EF•A′D=

2 2 λ

3

2λ2-8λ+4

=

4

3

λ

λ2-4λ+2

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，注意翻折变换中数量关系的变化，合理地进行等价转化．