Question

（2012•湖南模拟）函数f（x）=x²+|x-a|-1
（1）若a=0，则方程f（x）=0的解为

x=

5 -1

2

或x=

1- 5

2

．
（2）若函数f（x）有两个零点，则a的取值范围是

（-

5

4

，

5

4

）

．

Answer 1

分析：（1）若a=0，解方程 x²+|x|-1=0，解得|x|的值，即可得到方程f（x）=0的解．
（2）由题意可得函数y=x²-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点，当-1≤a≤1 时，结合图象可得满足条件．
当当y=-|x-a|的图象（两条射线）与函数y=x²-1的图象相切时，求得a=-

5

4

，或a=

5

4

，结合图象可得a的取值范围．

解答：解：（1）若a=0，则方程f（x）=0即 x²+|x|-1=0，解得|x|=

-1+ 5

2

．
∴x=

-1+ 5

2

，或 x=

1- 5

2

，
故答案为  x=

-1+ 5

2

，或 x=

1- 5

2

．
（2）由于f（x）=x²+|x-a|-1=0有两个零点，故函数y=x²-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点．
如图所示：
当-1≤a≤1 时，显然函数y=x²-1的图象 与函数y=-|x-a|的图象有两个交点．
当y=-|x-a|的图象（两条射线）与函数y=x²-1的图象相切时，
有

y=x2-1 y=x-a

 有唯一解，或

y=x2-1 y=-x+a

有唯一解．
故 x²+x-a-1=0 有唯一解，或  x²-x+a-1=0 有唯一解．
△₁=1+4a+4=0，或△₂=1-4a+4=0．  解得 a=-

5

4

，或a=

5

4

．
结合图象可得-

5

4

＜a＜

5

4

，
故答案为 （-

5

4

，

5

4

 ）．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，带有绝对值的函数，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．