Question

（2013•文昌模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程

x=1+ t 2 y=2+ 3 2 t

(t为参数)．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换

x′=3x y′=y

得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+2

3

y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由极坐标下的方程化为普通方程的公式即可将ρ=1化为普通方程；把直线l的参数方程中的参数消去即可得到直线l的普通方程．
（2）根据得到的曲线C'方程，利用三角代换即可把求x+2

3

y的最小值转化为求三角函数类型的最值问题．

解答：解：（1）设点P（x，y）是曲线C上的任意一点，由ρ=

x2+y2

，ρ=1，可得x²+y²=1即为曲线C的直角坐标方程．
又已知直线l的参数方程

x=1+ t 2             ① y=2+ 3 2 t           ②

  
由①可得t=2x-2，代入②得 y=2+

3

2

(2x-2)，整理为 y-2=

3

(x-1)即为直线l的普通方程．
（2）把

x′=3x y′=y

 变为

x= x′ 3 y=y′

 将其代入曲线C的方程得(

x′

3

)2+(y′)2=1，即得到曲线C'的方程为

x′2

9

+y′2=1．
设曲线C'上任一点为M（x，y），代入曲线C′的方程得

x2

9

+y2=1，
令

x=3cosθ y=sinθ

，则x+2

3

y=3cosθ+2

3

sinθ=

21

sin（θ+φ），∵-1≤sin（θ+φ）≤1．
∴x+2

3

y的最小值是-

21

．

点评：本题考查的是将极坐标方程及参数方程化为直角坐标系下的普通方程，及用参数法求代数式的最值．