Question

（2013•文昌模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁．
（ⅰ）求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△OA₁B面积的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据焦点坐标求得c，根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．求得a和c的关系式，进而求得a和b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）（i）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去x，设出A，B的坐标，则可利用韦达定理求得y₁y₂和y₁+y₂的表达式，根据A点坐标求得关于x轴对称的点A₁的坐标，设出定点，利用TB和TA₁的斜率相等求得t．
（ii）由（i）中判别式△＞0求得m的范围，表示出三角形OA₁BD面积，利用m的范围，求得m的最大值，继而求得三角形面积的范围．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的一个焦点是（1，0），所以半焦距c=1．
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
所以

c

a

=

1

2

，解得a=2，b=

3

所以椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）（i）设直线l：x=my+4与

x2

4

+

y2

3

=1联立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0．
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1+y2=

-24m

3m2+4

，y1y2=

36

3m2+4

．
由A关于x轴的对称点为A₁，得A₁（x₁，-y₁），
根据题设条件设定点为T（t，0），得kTB=kTA1，即

y2

x2-t

=

y1

t-x1

．
所以t=

x2y1+y2x1

y1+y2

=

(4+my2)y1+(4+my1)y2

y1+y2

=4+

2my1y2

y1+y2

=4-3=1即定点T（1，0）．

（ii）由（i）中判别式△＞0，解得|m|＞2．可知直线A₁B过定点T（1，0）．
所以S△OA1B=

1

2

|OT||y₂-（-y₁）|=

1

2

|y2+y1|，
得S△OA1B=

1

2

|

24m

4+3m2

|=

4

|m|+ 4 3|m|

，
令t=|m|记φ(t)=t+

4

3t

，得φ′(t)=1-

4

3t2

，当t＞2时，φ′（t）＞0．
φ(t)=t+

4

3t

在（2，+∞）上为增函数．所以|m|+

4

3|m|

＞2+

2

3

=

8

3

，
得0＜S△OA1B＜4×

3

8

=

3

2

．故△OA1B的面积取值范围是(0，

3

2

)．

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力．