Question

7．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，$\sqrt{3}$a-c），$\overrightarrow{n}$=（sinC，sinA-sinB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$
（1）求角B的大小
（2）若A=$\frac{π}{6}$，角B的平分线与AC边交于点D，且BD=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行向量的运用法则建立关系，利用正弦定理即可求角B的大小．
（2）角B的平分线与AC边交于点D，根据角B的大小，求出∠CBD，以及C的角的大小，可得∠BCD
结合正弦定理可得BC，BD=2，即可求△ABC的面积．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$
可得：（a+b）（sinA-sinB）-（$\sqrt{3}a-c$）sinC=0，
由正弦定理可得：（a+b）（a-b）-（$\sqrt{3}a-c$）=0，即${a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}=\sqrt{3}ac$
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{6}$
（2）由题意，角B的平分线与AC边交于点D，B=$\frac{π}{6}$
在△BCD中，可得∠DBC=$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}$=$\frac{π}{12}$，C=$π-\frac{π}{6}-\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}$
∴∠BCD=$π-\frac{π}{12}-\frac{2π}{3}=\frac{π}{4}$
由$\frac{BC}{sin∠BDC}=\frac{BD}{sinC}$，可得：BC=$\frac{2×sin\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵A=$\frac{π}{6}$，∠ABC=$\frac{π}{6}$，
∴AC=BC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AC•sinC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考察了正余弦定理的综合运用能力和计算能力，属于中档题．