Question

已知曲线C：f（x）=x²，C上的点A₀，A_n的横坐标分别为1和a_n（n∈N^*），且a₁=5，数列{x_n}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t＞0且t≠

1

2

，t≠1)，设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点P_n（x_n，f（x_n）），使得点P_n处的切线与直线A₀A_n平行．
（1）证明：{log_t（x_n-1）+1}是等比数列；
（2）当D_n+1?D_n对一切n∈N^*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，当t=

1

4

时，试比较S_n与n+7的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由线在点P_n的切线与直线AA_n平行，知xn=

an+1

2

，由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，由此能够证明{log_t（x_n-1）+1}是等比数列．
（2）由log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，得xn=1+

1

t

(2t)2n-1．从而an=2xn-1=1+

2

t

(2t)2n-1，由D_n+1?D_n对一切n∈N^*恒成立，得a_n+1＜a_n，由此能求出t的取值范围．
（3）当t=

1

4

时，an=1+8×(

1

2

)2n-1，所以Sn=n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)4+…+(

1

2

)2n-1]，由此能够比较比较S_n与n+7的大小．

解答：解：（1）∵由线在点P_n的切线与直线AA_n平行，
∴2xn=

an2-1

an-1

，即xn=

an+1

2

，
由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，
∴log_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1），
即log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，
∴{log_t（x_n-1）+1}是首项为log_t2+1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，
∴xn=1+

1

t

(2t)2n-1．
从而an=2xn-1=1+

2

t

(2t)2n-1，
由D_n+1?D_n对一切n∈N^*恒成立，
得a_n+1＜a_n，
即(2t)2n＜(2t)2n-1，
∴0＜2t＜1，
即0＜t＜

1

2

．
（3）当t=

1

4

时，an=1+8×(

1

2

)2n-1，
∴Sn=n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)4+…+(

1

2

)2n-1]，
当n≤3时，2^n-1≤n+1；
当n≥4时，2^n-1＞n+1，
∴当n≤3时，Sn≤n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)4]=n+

13

2

＜n+7．
当n≥4时，S_n＜n+8[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n+1]
=n+7-(

1

2

)n-2
＜n+7．
综上所述，对任意的n∈N^*，都有S_n＜n+7．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．