Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，且当x=

1

2

时，函数f(x)=

1

2

anx2-an+1x取得极值．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=log₂a_2n-1，求b₂₁的值

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=a_nx-a_n+1由题意f′(

1

2

)=0得an+1=

1

2

an，（6分）
又∵a1=

1

2

≠0所以数列{a_n}是公比为

1

2

的等比数列所以an=

1

2n

（8分）
（Ⅱ）因为bn+1-bn=log2a2n-1=log2

1

22n-1

=1-2n，（10分）
所以b₂₁-b₂₀=-39，b₂₀-b₁₉=-37，b₁₉-b₁₈=-35，，b₂-b₁=-1
叠加得b₂₁-b₁=-400把b₁=1代入得b₂₁=-399（13分）