Question

过抛物线y²=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．

Answer 1

8
分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=-1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．
解答：∵抛物线方程为y²=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1
设线段AB的中点为M（3，y₀），则M到准线的距离为：|MN|=3-（-1）=4，
过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D
根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8
再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．
故答案为：8
点评：本题给出过抛物线y²=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．