Question

18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC，∠ABC=60°，N是BC的中点，将ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′．
（1）求证C′N∥平面ADD′；
（2）求二面角A-C′N-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BC∥平面ADD'，BC'∥平面ADD'，从而平面BCC'∥平面ADD'，由此能证明NC'∥平面ADD'．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AC′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-C'N-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵BC∥AD，∴BC∥平面ADD'，
同理BC'∥平面ADD'，
又BC∩BC'=B，∴平面BCC'∥平面ADD'，
∵NC'?平面BCC'，∴NC'∥平面ADD'．…（6分）
解：（2）在等腰梯形ABCD中，
AD∥BC，$AD=\frac{1}{2}BC$，∠ABC=60°，N是BC的中点，得AC⊥AB
又平面ABCD⊥平面ABC'D'，
且AC'⊥AB，AC'⊥平面ABCD
∴AC'⊥AC，AC'⊥AB，AC⊥AB，…．（8分）
如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AC′为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0）．$C（0，\sqrt{3}，0）$，$C'（0，0，\sqrt{3}）$，$N（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，
$\overrightarrow{BC'}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CC'}=（0，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
设平面C'NC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC'}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CC'}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}z=0\\-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，取z=1，$x=\sqrt{3}$，y=1，所以$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，1）$，…（10分）
因为AC'⊥平面ABC，平面C'AN⊥平面ABC，
又由题意知四边形ABND是菱形，所以BD⊥AN，
平面C'AN∩平面ABC=AN，BD⊥平面C'AN，
设BD∩AN=O，则交点O为AN的中点，
所以平面C'AN的法向量为$\overrightarrow{OB}=（\frac{3}{4}，-\frac{{\sqrt{3}}}{4}，0）$，…（12分）
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{OB}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OB}}}{{|\overrightarrow{n|}•|\overrightarrow{OB}|}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
由图知二面角A-C'N-C为钝角，所以二面角A-C'N-C的余弦值为$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（15分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．