Question

13．三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 84π
• B． 72π
• C． 60π
• D． 48π

Answer 1

分析 由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=6，△ABC中AC=6，取AC中点F，连BF，求出BS=6$\sqrt{2}$，可得三棱锥外接球的半径，即可得到答案．

解答 解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形
如图，取AC中点F，连BF，则
在Rt△BCF中，BF=3$\sqrt{3}$，CF=3，BC=6．
在Rt△BCS中，CS=6，所以BS=6$\sqrt{2}$．
设球心到平面ABC的距离为d，则
因为△ABC的外接圆的半径为2$\sqrt{3}$，
所以由勾股定理可得R²=d²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-d）²+（2$\sqrt{3}$）²，
所以d=3，该三棱锥外接球的半径R=$\sqrt{21}$
所以  三棱锥外接球的表面积是4πR²=84π，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状是解答的关键．