【题目】已知点,在圆
:
上任取一点
,
的垂直平分线交
于点
.(如图).
(1)求点的轨迹方程
;
(2)若过点的动直线
与(1)中的轨迹
相交于
、
两点.问:平面内是否存在异于点
的定点
,使得
恒成立?试证明你的结论.
【答案】(1)
(2)存在,证明见解析
【解析】
(1)利用垂直平分线的性质可得,从而得到点
的轨迹是以
,
为焦点的椭圆;
(2)先考虑当直线轴和直线
轴的情况得到定点
;再考虑对直线的一般情况都有点
满足题意.
(1)依题意得,,
故点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,
,
,
,
因此,所求的轨迹是椭圆:
.
(2)当直线轴时,由
得
知点
在
轴上,可设
.
当直线轴时,
,
,由
得
,或
.
因此,若存在异于点的定点
满足题意,则点
的坐标为
.
下面我们来证明:对任意直线均有
.
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.
当直线的斜率存在时,可设直线
:
,
,
.
把代入
得
,
由于点在椭圆
的内部,故判别式
.所以
,
,
,
易知点关于
轴的对称点为
,
而,
又,
所以,
即、
、
三点共线,
,
综上知,存在异于点的定点
满足题意.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线
(
为参数).以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与直线
交于
两点,点
,求
的值.
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【题目】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.
分值权重表如下:
总分 | 技术 | 商务 | 报价 |
100% | 50% | 10% | 40% |
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价表则相对灵活,报价标的评分方法是:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基础上扣0.8分.
在某次招标中,若基准价为1000(万元).甲、乙两公司综合得分如下表:
公司 | 技术 | 商务 | 报价 |
甲 | 80分 | 90分 | A甲分 |
乙 | 70分 | 100分 | A乙分 |
甲公司报价为1100(万元),乙公司的报价为800(万元)则甲,乙公司的综合得分,分别是( )
A. 73,75.4B. 73,80C. 74.6,76D. 74.6,75.4
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【题目】设A,B分别是双曲线的左右顶点,设过
的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的于S,T两点,且
,则
的面积( )
A.B.
C.
D.
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【题目】等腰直角三角形中,
,点
在边
上,
垂直
交
于
,如图①.将
沿
折起,使
到达
的位置,且使平面
平面
,连接
,
,如图②.
(Ⅰ)若为
的中点,
,求证:
;
(Ⅱ)若,当三棱锥
的体积最大时,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知圆C经过A(5,3),B(4,4)两点,且圆心在x轴上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线l过点(5,2),且被圆C所截得的弦长为6,求直线l的方程.
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【题目】已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与
轴的非负半轴重合,且长度单位相同,直线
的极坐标方程为
,曲线
(
为参数).其中
.
(1)试写出直线的直角坐标方程及曲线
的普通方程;
(2)若点为曲线
上的动点,求点
到直线
距离的最大值.
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【题目】图1是由菱形,平行四边形
和矩形
组成的一个平面图形,其中
,
,
,
,将其沿
,
折起使得
与
重合,如图2.
(1)证明:图2中的平面平面
;
(2)求图2中点到平面
的距离;
(3)求图2中二面角的余弦值.
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【题目】河北省高考改革后高中学生实施选课走班制,若某校学生选择物理学科的人数为800人,高二期中测试后,由学生的物理成绩,调研选课走班制学生的学习情况及效果,为此决定从这800人中抽取人,其频率分布情况如下:
分数 | 频数 | 频率 |
8 | 0.08 | |
18 | 0.18 | |
20 | 0.2 | |
0.24 | ||
15 | ||
10 | 0.10 | |
5 | 0.05 | |
合计 | 1 |
(1)计算表格中,
,
的值;
(2)为了了解成绩在,
分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.
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