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    【题目】等腰直角三角形中，，点在边上，垂直交于，如图①.将沿折起，使到达的位置，且使平面平面，连接，，如图②.

    （Ⅰ）若为的中点，，求证：；

    （Ⅱ）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

    【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

    【解析】

    （Ⅰ）先证平面得，由为的中点，，得，进而证明平面即可证明；（Ⅱ）证明三棱锥的体积最大时DB=2, 以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,分别求面和面PEB的法向量，由空间向量二面角公式求解即可

    （I） ，，∩=D

    平面，

    又在图①中，，

    ，

    平面，而平面，

    ，

    ，是的中点，

    平面，而平面，

    .

    （Ⅱ）设，由，三棱锥的体积，

    得三棱锥的体积最大时，.

    ，

    以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系

    则，，，.

    设面的法向量为

    则

    令则，，则

    设面的法向量为

    则

    令则，，则

    所以二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图）：

    规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损1元，优等品每件盈利3元，特优品每件盈利5元.以这100 件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率.

    （1）求每件产品的平均销售利润；

    （2）该企业为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值.

    16.30

    23.20

    0.81

    1.62

    表中，，，.

    根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.

    ①求关于的回归方程；

    ⑦用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润营销费用，取）

    附：对于一组数据，，…，其回归直线均斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知某企业有职工5000人，其中男职工3500人，女职工1500人．该企业为了丰富职工的业余生活，决定新建职工活动中心，为此，该企业工会采用分层抽样的方法，随机抽取了300名职工每周的平均运动时间（单位：h），汇总得到频率分布表（如表所示），并据此来估计该企业职工每周的运动时间：

    平均运动时间

    频数

    频率

    [0，2）

    15

    0.05

    [2，4）

    m

    0.2

    [4，6）

    45

    0.15

    [6，8）

    755

    0.25

    [8，10）

    90

    0.3

    [10，12）

    p

    n

    合计

    300

    1

    （1）求抽取的女职工的人数；

    （2）①根据频率分布表，求出m、n、p的值，完成如图所示的频率分布直方图，并估计该企业职工每周的平均运动时间不低于4h的概率；

    男职工

    女职工

    总计

    平均运动时间低于4h

    平均运动时间不低于4h

    总计

    ②若在样本数据中，有60名女职工每周的平均运动时间不低于4h，请完成以下2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于4h与性别有关”．

    附：K2=，其中n=a+b+c+d．

    P（K2≥k0）

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    k0

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点，.连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置，如图2.

    （1）证明：平面平面；

    （2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】椭圆经过点，左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且满足的点只有两个.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）过且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在一点，使得的角平分线是轴？若存在求出，若不存在，说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知点，在圆：上任取一点，的垂直平分线交于点.（如图）.

    （1）求点的轨迹方程；

    （2）若过点的动直线与（1）中的轨迹相交于、两点.问：平面内是否存在异于点的定点，使得恒成立？试证明你的结论.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上，且的最小值是（为坐标原点）.

    （1）求椭圆的标准方程.

    （2）已知动直线与圆：相切，且与椭圆交于，两点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，，，是由直线引出的三个不重合的半平面，其中二面角大小为60°，在二面角内绕直线旋转，圆在内，且圆在，内的射影分别为椭圆，.记椭圆，的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）

    A.B.C.D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．

    （1）求圆C的方程；

    （2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．

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