Question

正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a,侧棱长为2a,求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角.

Answer 1

分析：利用正三棱柱的性质,建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标.求角时有两种思路:一是由定义找出线面角,取A₁B₁的中点M,连结C₁M,证明∠C₁AM是AC₁与面A₁B所成的角;另一种是利用平面AB₁的法向量n=(λ,x,y)求解.

解：解法一：建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,a,0),A₁(0,0, ),C₁(-a, ,a),取A₁B₁的中点M,则M(0,,a),连结AM,MC₁,有

=(-a,0,0),=(0,a,0),=(0,0,a).

由于·=0,·=0，

∴MC₁⊥面ABB₁A₁.

∴∠C₁AM是AC₁与侧面A₁B所成的角.

∵=(-a,,a),=(0,,a),

∴·=0++2a²=.

而||=,

||=,

∴cos〈,〉=.

∴〈,〉=30°,即AC₁与侧面AB₁所成的角为30°.

解法二：(法向量法)(接方法一)=(0,0,a).

设侧面A₁B的法向量n=(λ,x,y),

∴n·=0且n·=0.

∴ax=0,且ay=0.

∴x=y=0.故n=(λ,0,0).

∵=(-a,,a),

∴cos〈,n〉=.

∴|cos〈,n〉|=,∴〈,〉=30°,即AC₁与侧面AB₁所成的角为30°.

点拨：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算.