Question

若f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数y=f（x+a）在区间[-1，3]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x求得a、b、c的值，从而求得f（x）的解析式．
（2）由于y=f（x+a） 在[-1，3]不单调，可得对称轴在区间[-1，3]内，从而求得a的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，
∴f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）∵y=f（x+a）=（x+a）²-（x+a）+1=x²+（2a-1）x+a²-a+1 在[-1，3]不单调，
∴二次函数f（x）的对称轴x=-a+

1

2

在区间[-1，3]内，
∴-1＜-a+

1

2

＜3，
∴-

5

2

＜a＜

3

2

，
∴k的取值范围为{a|-

5

2

＜a＜

3

2

}．

点评：本题考查了利用待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质应用问题，是基础题．