Question

在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求

（1）动圆的圆心轨迹方程L;

（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。

Answer 1

⑴,动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程

⑵   

解析:

（1）由可得

由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为, 则有

整理得到动圆圆心轨迹方程  。  ……………………（5分）

另解  由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程

，即…………………（5分）

（2）联立方程组                ①

                      ②

消去得     ，

由 整理得

                          ③

从③可知 。 故令，代入③可得

 再令，代入上式得

                         …………………（10分）

同理可得，。可令代入③可得

               ④

对④进行配方，得  

对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则 。

所以               …………………………………（15分）

仅当时，为完全平方数。于是解得

        。 …………………（20分）