Question

设关于x的函数y=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a），试确定满足f(a)=

1

2

的a的值，并对此时的a值求y的最大值．

Answer 1

分析：先令cosx=t，转化为关于t的一元二次函数；通过讨论对称轴和去件的位置关系找到最小值f（a）；再结合f(a)=

1

2

即可求出a的值并求出y的最大值．

解答：解：令cosx=t，t∈[-1，1]，
则y=2t²-2at-（2a+1），对称轴t=

a

2

，
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，[-1，1]是函数y的递增区间，ymin=1≠

1

2

；
当

a

2

＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，ymin=-4a+1=

1

2

，
得a=

1

8

，与a＞2矛盾；
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，ymin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，a2+4a+3=0
得a=-1，或a=-3，
∴a=-1，
此时y_max=-4a+1=5．

点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值讨论问题．解决问题的关键在于讨论对称轴和区间的位置关系．